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设α β是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当k为何值时,(α+1)^2+(β+1)^2有最小值

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简介题目:设αβ是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当k为何值时,(α+1)^2+(β+1)^2有最小值答案:首先根据方程有两个实数根,获取k的取值范围x²

题目:设α β是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当k为何值时,(α+1)^2+(β+1)^2有最小值
答案: 首先根据方程有两个实数根,获取k的取值范围
x²-2kx+k+20=0
△=(-2k)²-4(k+20)≥0
k²-k+20≥0
(k-5)(k+4)≥0
k≥5 或k≤-4
根据一元二次方程解得性质得
α+β=2k
αβ=k+20
化简并变形
(α+1)²+(β+1)²
=α²+2α+1+β²+2β+1
=α²+2αβ+β²+2α+2β+2-2αβ
=(α+β)²+2(α+β)-2αβ+2
=(2k)²+2(2k)-2(k+20)+2
=4k²+4k-2k-40+2
=4k²+2k-38 (k≥5 或k≤-4)
设抛物线方程y=4k²+2k-38 ,定义域为(k≥5 或k≤-4),开口向上
k=-2/2*4=-1/4为抛物线的对称轴
所以当k≤-1/4时 即k≤-4时,函数为减函数
当k≥1/4时 即k≥5时,函数为增函数
根据对称性k=5,与k=-4 哪个与对称轴近,就在哪点取得最小值
|-4-(-1/4)|=15/4,|5-(-1/4)|=19/4
所以当k=-4时(α+1)²+(β+1)²有最小值
最小值为4*(-4)²+2*(-4)-38=18

Tags: 数学   函数   对称轴   实数   抛物线  

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